Turto klasių koreliacijos įtaka grąžai

Grynieji ir jų koreliacija su kitomis turto klasėmis

Grynųjų ir kitų turto klasių koreliacija yra ~0. Todėl grynieji yra puiki priemonė išsaugoti turtą kai nežinai ką daryti. Nedaryk nieko. 🙂 Girdėjom daug kartų: Cash is king. Ypač tokiu metu, kai labai padidėja kintamumas (volatility), padidėja turto klasių koreliacija, kai pvz. tiek akcijos, tiek obligacijos, tiek auksas pinga. Teoriškai: kuo labiau vienodėja skirtingų turto klasių koreliacija, ypač esant neigiamai grąžai, tuo didesnę portfelio dalį reikėtų laikyti grynais (čia, kad sumažinti ilgalaikes netektis). Kadangi čia gaunasi market timing, tai to daryti nerekomenduoju, bet apie tai pagalvoti galima. Tuo labiau suprasti, kodėl taip yra.

Kodėl svarbi koreliacija?

– Nes derinant kelis mažą (ar neigiamą) koreliaciją turinčius instrumentus, galima sumažinti bendrą portfelio kintamumą/kaitumą/nepastovumą (nežinau, kaip tikslia parašyti, tegul bus kintamumas, – en. volatility).

Kombinuojant mažą ar neigiamą koreliaciją turinčius instrumentus, sumažinę bendrą portfelio kintamumą, galime investuoti agresyviau. Kitais žodžiais, žinant savo rizikos toleranciją, galime didesnę dalį portfelio investuoti į didesnę grąžą ir riziką turinčius instrumentus. Šį veiksmą galime vadinti – portfelio optimizavimu (čia nekalbu apie Nassim Taleb Barbell metodiką, gal kada vėliau).

Portfelio kintamumas

Kodėl svarbus portfelio kintamumas? Nes kuo didesnis kintamumas, tuo didesnis galimas nuostolis ir daugiau laiko reikės pasiekti pradinį portfelį. Jau rašiau anksčiau, bet kuo daugiau skaitai – nenustoju stebėti, kaip tai svarbu.

Logaritminė kreivė, rodanti kiek reikia uždirbti, norint panaikinti turėtą nuostolį.

Keli patikslinimai:

  • Reikia 11% pelno, kad susigrąžinti 10% nuostolį. Nėra bėdų.
  • Reikia 25% pelno, kad susigrąžinti 20% nuostolį. Sunkiau.
  • Reikia 43% pelno, kad susigrąžinti 30% nuostolį. Problema.
  • Reikia 67% pelno, kad susigrąžinti 40% nuostolį. Didelė problema.
  • Reikia 100% pelno, kad susigrąžinti 50% nuostolį. Žlugdo.
  • Reikia 300% pelno, kad susigrąžinti 75% nuostolį. Katastrofa.

Portfelio kintamumo pavyzdžiai

Trys portfeliai, kuriuos turėjome šešis metus. Vsų trijų aritmetinis grąžos vidurkis – 5%. Bet esant didesniam kintamumui, geometrinis grąžos vidurkis (CAGR) gerokai mažesnis. Kuo didesnis portfelio kintamumas, tuo didesnis galimas kintamumo sąlygotas nuostolis (volatility drag). Portfelis B svyruoja 10% daugiau, nei portfelis A. Tiek į pliusą, tiek į minusą. Portfelis C, patiria 25% didesnius svyravimus.

Volatility Drag = ½ * Variance of Returns

Historical Stock Market Volatility Over 10 Years
Grafike nėra COVID-19 išpardavimo. Atrodytų dar geriau.
S&P 500 historical annual returns

Kintamumas turi didelį neigiamą efektą portfelio pajamingumui. Svarbu suprasti, nukritus portfelio vertei, esant pelnui – jis bus nuo mažesnės vertės. Kiekvieno ciklo metu, vis prarasite pinigų.

portfolio diversification

Portfelio kintamumas yra tiek jo dedamųjų koreliacijos, tiek dedamųjų kintamumo funkcija. Manau, kad verta panagrinėti daugiau.

Vanguard apie koreliaciją.

Intuicijos testas

Manau reikalingi keli pavyzdžiai, kad geriau suprastume.

Įsivaizduokim:

  • Jūsų dabartinis portfelis generuoja vidutiniškai (log-vidurkis) 5% grąžą su 15% kintamumu (volatility). Jūsų portfelio Sharpe rodiklis – 0.33
  • Norite skirti pinigų, kurie sudarys 10% savo portfelio dar vienam, perspektyviam finansiniam instrumentui.
  • Jūs norite, kad Jūsų portfelis turėtų maksimalų Sharpe rodiklį (didžiausias pelnas ir mažiausia rizika.. Beje, vertinkit kritiškai, gali būti 0,1% grąža ir 0,0001% rizika = Sharpe rodiklis 1000, na bet esmę supratot).

Pasirinkite tarp A1 ir A2

A1A2
Grąža4.00%4.00%
Kintamumas7.96%46.04%
Koreliacija su portfeliu-.20-.20
Atrodo visiškai skirtingi finansiniai instrumentai

Visai nenuostabu, kad didžioji dalis žmonių rinktųsi A1, nes jis turi tą pačią grąžą kaip ir A2, bet su 1/6 rizikos.

Paskaičiuojam..

Visai netikėtai pasirodo, kad tikėtina portfelio grąžą vienoda, pasirinkus tiek A1, tiek A2.:

Portfelio kintamumas, jeigu renkamės A1:

Originalaus portfelio Sharpe = .33

Sharpe rodiklis pridėjus A1 = 0.049/0.13363 t.y. 0.3667

Sharpe rodiklis pagerėjo ~ 10% (nuo 0,33 iki 0,3667).

Jeigu pridedame A2.

Suskaičiuojam kintamumą..

Tikrai tiesa. Kintamuma toks pats!

Naujojo portfelio kintamumas vienodas, nepaisant kurį iš dviejų minėtų finansinių instrumentų pridedame. Reiškia, portfelio Sharpe rodiklis bus vienodas. Tai yra tiesa, nepaisant smarkiai didesnio A2 finansinio instrumento Sharpe rodiklio. Atrodo, nesamonė?

Kad suprasti, pažiūrėkime į portfelio kintamumo formulę:

Padalinkim formulę į tris dalis. Pirmoji išliks vienoda visais atvejais, nes ten – pradinio portfelio duomenys. Antroji dalis bus pažymėta mėlynai, trečioji – raudonai.

Grafiškai pavaizduojame viso portfelio kintamumo pokytį vs A1 ar A2 kintamumą.

Kai didiname finansinio instrumento riziką (kintamumą), lygties antroji dalis (kurioje yra kintamumas) auga eksponentine progresija, o trečioji – mažėja linijine (prisiminkit, kad trečioje lygties dalyje yra p – t.y. neigiama koreliacija). Gaunasi taip, kad bent jau laikinai, neigiamos koreliacijos sukuriamas mažėjimas, neutralizuoja eksponentinį didėjimą.

Reikia išskirti du dalykus.

  1. Kai pridedame neigiamai koreliuojantį finansinį instrumentą prie mūsų turimo portfelio, jo rizika (kintamumas) turi būti labai didelė, kad pradėtų „bloginti“ galutinio portfelio Sharpe rodiklį. Nes neigiama koreliacija kurį laiką „slopina“ papildomą volatility drag.
  2. Pastebėkite, kaip laikinai, kai grafike einame iš kairės į dešinę, kas didina finansinės priemonės kintamumą (riziką), mes sumažiname galutinio portfelio riziką. Kitaip sakant, jeigu šiuo atveju pridedame finansinei priemonei rizikos (kintamumo), nesumažinę jos grąžos – gauname Sharpe rodiklio pagerėjimą. T.y. papildomas kintamumas kurį laiką duoda teigiamą grąžą (primenu, tiek A1, tiek A2 grąža – 4%).

Daugiau pasirinkimo testų

B1B2C1C2D1D2
Grąža10.54%3.57%9.33%6.50%6.43%-2.64%
Kintamumas20.00%20.00%27.50%12.50%10.00%40.00%
Koreliacija.80-.20.40.40.50-.60
Sakykim 6 skirtingi ETF.

Dauguma sutiktų:

  • B1 truputį geresnis nei B2. Ta pati rizika, o B1 – gerokai didesnė grąža, nors B2 – geresnė koreliacija.
  • C2 geresnis už C1, nes jo Sharpe yra geresnis (apie 0.52 vs 0.34).
  • D1 geresnis už D2. D1’s Sharpe daug didesnė, D2 neigiama grąža!!!

O esmė tokia, kad bet kuris iš šių variantų, pirminio portfolio Sharpe pagerina 10%..

Intuicija sakytų, kad reikia rinktis portfelį (ar finansinį instrumentą) iš viršutinio žalio kvadrato. Juk jis turi geriausią Sharpe, todėl turėtų būti nejauku sužinoti, kad matematiškai finalinis portfelis keisis vienodai, nepaisant to fakto, kurį iš variantų pasirinksime.

Koreliacija yra esmė

Tas pats grafikas, pažymėjus koreliaciją.

Kuo labiau neigiama koreliacija, tuo mažiau grąžos reikia, kad portfelio Sharpe pagerėtų 10%.

Finansinės priemonės Sharpe rodiklis yra labai „logiškai“ suprantamas, tik deja, jis negali būti vertinamas į neatsižvelgiant į koreliaciją su kitomis portfelyje esančiomis dedamosiomis. Kad vizualiai suvokti koreliacijos ir Sharpe rodiklio ryšį, vertinga suprasti toliau parodytas „indifference“ kreives.

RRR= siekiamo įtraukti į portfelį instrumento Sharpe rodiklis
RRR= originalaus portfelio Sharpe rodiklis
Rho (p) = koreliacija

Pvz. šviesiai žalia linija rodo, kaip keistųsi portfelio Sharpe rodiklis, keičiantis koreliacijai, jeigu naujai finansinei priemonei skirtume 20% (0,2) buvusio portfelio.

Pastebėjimai

  • Kai naujai priemonei skiriama didesnė portfolio dalis, (aukščiau esančios linijos – einant nuo žalios iki violetinės), pridedamas finansinis instrumentas turi turėti geresnius rodiklius, kad nepakenktų originaliam portfeliui. Tam, kad pagerintų rezultatus – jis turi būti – geresnis negu originalus portfelis. Norint išsireikšti kitaip – kuo didesnę rolę atlieka naujasis finansinis instrumentas, tuo didesni jam keliami reikalavimai (labai logiška).
  • Jeigu naujasis finansinis instrumentas turi blogesnį Sharpe, negu originalus portfelis, jis gali tai iki tam tikro laiko kompensuoti, turėdamas mažą arba neigiamą koreliaciją.

Pritaikymas praktikoje (bent jau teoriškai)

Kiekvienas investuotojas, vertindamas naują finansinį instrumentą savęs klausia:

“Ko man iš jo reikia (t.y. kokia reikalinga grąža, kintamumas ir koreliacija), kad aš jį pridėčiau į savo portfelį?”

Pasinaudojant paprasta formule, galime tai suskaičiuoti objektyviai (aišku duomenys retrospektyviniai, tai vertinimas tik preliminarus):

Šį lygtis parodo, ko bent jau minimaliai reikia iš naujo instrumento, kad jis nepakenktų originaliam portfeliui (įsistačius žinomą gražą, kintamumą ir koreliaciją, galime apskaičiuoti optimalią portfelio dalį).

Pvz. jeigu norimas įtraukti finansinis instrumentas turi 0.10 Sharpe rodiklį, o originalus portfelis 0.40, tai tam, kad naujasis finansinis instrumentas nepakenktų, jis negali turėti didesnės negu 0.25 koreliacijos su portfeliu (t.y. 0.10/0.40).

Arba pvz. jeigu turim instrumentą, kuris turi 0.80 koreliaciją su mūsų portfeliu, o mūsų portfelio Sharpe rodiklis yra 0.70, tai naująjam instrumentui reikalingas bent jau 0.56 Sharpe (t.y. 0.80 x 0.70).

Įžvalgos

  • Koreliacija geriausiai suprasti, kaip kliūtį grąžai. T.y. kuo mažesnė koreliacija, tuo mažesni naująjam finansiniam instrumentui keliami reikalavimai (Sharpe rodiklis gali būti mažesnis, kai visi kiti kriterijai vienodi)
  • Nauji finansiniai instrumentai su didesniu Sharpe negu turimo portfelio – yra visada naudingi.
  • Jeigu rasite finansinį instrumentą turintį nulinę koreliaciją – jis visada bus naudingas portfeliui, jeigu turės bent jau minimaliai teigiamą grąžą. Jeigu koreliacija neigiama – grąža gali būti neigiama.
  • Šis metodas negal būti taikomas finansiniams instrumentams rikiuoti. Jis veikia kaip filtras – taip arba ne. Sharpe rodikliai – leidžia instrumentus rikiuoti (pagal riziką), bet kaip parodyta aukščiau – be koreliacijos, tai nieko nereiškia. Jeigu kažką atsiminsite perskaitę šitą rašliavą, tai čia svarbiausias dalykas. Daryti sprendimus vadovaujantis grąža ir rizika, tai lyg vertinti bėgikus pagal jų laikus, nežinant kokį atstumą jie bėgo.

Galutinės išvados

  • Koreliacija portfelio matematiką padaro nebeinuityvia
  • Neigiama ir maža koreliacija gali prastą ar net su neigiama grąža finansinį instrumentą padaryti puikiu portfelio komponentu. Va ir turim akcijas, obligacijas, grynus, auksą ir žaliavas
  • Didelę riziką turintys finansiniai instrumentai, su neigiama koreliacija – dažniausiai sumažina bendrą portfelio riziką
  • Koreliacijos svarba vis dar išlieka neįvertinta

P.S. Bet koks mano patarimas ar nuomonė – nėra rekomendacija kažką daryti. Tuo labiau investuoti. Skaitau ir mokausi, dalį to ką perskaitau, užrašau. Visi turim savo galvas, jas ir naudokim.

Ar egzistuoja Equity Premium Puzzle?

Akcijų rizikos premija (equity risk premium, toliau ERP) yra papildoma grąža, kurią gauni investuodamas į akcijas, vietoj indėlių ar obligacijų (finansinių instrumentų „be rizikos“). Istoriškai, rašoma kad ji lygi apie 6%. Nepaisant to, kad kartas nuo karto patiriamas 20%+ nuostolis, ilgalaikė aritmetinė grąža yra didesnė, nei obligacijų. Ir nemaža dalis investuotojų nemato prasmės mokėti už obligacijas, kurių grąža ilguoju laiku mažesnė. Iš čia atsiranda mįslė (puzzle)..

Kyla klausimas..

Studentas: Ei. profesoriau! Kodėl man kažkas turi papildomai mokėti, kai aš perku ir laikau akcijas, o ne obligacijas?

Profesorius: Nes jeigu nebūtų papildomos premijos ar papildomos akcijų kainos nuolaidos, tu jų niekada tiesiog nepirktum.. Jeigu akcijų ir obligacijų grąža būtų vienoda, kas pirktų akcijas? Duh.

Literatūros duomenimis, ekonomistai su skaičiuotuvais suskaičiavo, kad ši apie 6% premija yra rodiklis, kodėl praktiškai neapsimoka mokėti pinigų už obligacijas. Kaip, kad mano blogo komentaruose Karolis rašė:

“To quantify the level of risk aversion implied if these figures represented the expected outperformance of equities over bonds, investors would prefer a certain payoff of $51,300 to a 50/50 bet paying either $50,000 or $100,000”

– Karolis (anonimas komentaruose)

Raganystės

Bet internete yra duomenų, kad ERP nėra, ir nėra čia jokio „puzzle“. Nepradėkit labai aštriai kritikuoti (aš tik mokausi, o ne mokau). Žinoma teiginys piktas, juk praktiškai ignoruoju, kad akcijų grąža didesnė, nei obligacijų..

Pažvelkime dar kartą į šį teiginį: Akcijos turi didesnę grąžą negu obligacijos.

Ką turime omenyje – akcijos? Pavienes akcijas ar indeksus? Nes jeigu lyginame su S&P 500 indeksu, – tai nėra pavienė akcija. Esmė tame, kad akcijų indeksas negali būti lyginamas su pavienėmis akcijomis. O tik nedidelė dalis akcijų ilguoju laiku lenkia USA long term obligacijas..

Klaidingas lyginimas

Indeksas yra tam tikromis griežtomis taisyklėmis pagrįsta prekiavimo akcijomis strategija, kuri rebalansuojama.

“Akcijos” ir “Akcijų indeksas” yra ne vienas ir tas pats. Pirma yra turto klasė, kita – turto klasės prekiavimo strategija, pagal taisykles, diversifikuota, rebalansuojama. Šios dvi finansinės priemonės elgiasi visiškai skirtingai ir neturi tų pačių savybių, grąžos ir standartinio nuokrypio (kintamumo). Negalima naudoti vieno, kito pakeitimui!

Matematika viską įrodo:

Vidutinis pavienės S&P 500 akcijos kintamumas ~33%. Pačio indekso 14-18% (kinta priklausomai nuo laiko, teisingumo dėlei COVID-19 laikotarpį atmetam, neturiu visų duomenų). Kai lygini vidutinį pavienės indekso akcijos (o ne viso akcijų indekso) geometrinį grąžos vidurkį (CAGR), nebelieka jokio ERP.

0,06 – ((0,33*0,33)/2) = 0,55%

Visa esmė, kad naudojant istorinį pavienės akcijos kintamumą (~0,33), kuris yra maždaug dvigubai didesnis už akcijų indekso kintamumą, lieka tik 0,55% premija (kuri gali būti tik triukšmas). Kur 0,55%, o kur 6,4%!

Aš manau, kad perrašius Karolio mintį:

“To quantify the level of risk aversion implied if these figures represented the expected outperformance of equities over bonds, investors would prefer a certain payoff of $51,300 to a 50/50 bet paying either $50,000 or $52,614.30”

Perrašytas Karolio įrašas (gali būti matematiškai nelabai tikslus).

Didelė dalis investuotojų pasirinktų garantuotą 51,300$.

Noriu pabrėžti, kad čia kalbama apie vidutinį pavienės akcijos ir pavienės obligacijos ERP. Kalbant apie akcijų indeksą, žinoma, kad atsiranda ERP. (apie tai toliau).

Kokias išvadas galime pasidaryti?

Manau, galima tik patvirtinti šiuos teiginius:

  • Kai kalbame apie grąžą per laiką, dažniausiai turime galvoti apie daugybą (o ne paprastą pridėjimą). Tokiu atveju grąžą skaičiuojame, pasinaudodami geometriniu vidurkiu arba logaritminiu vidurkiu, o ne aritmetiniu vidurkiu (nes atsiranda kintamumo sukelta grąžos netektis (en. volatility drain).
  • Portfelio komponentai nėra tobulai koreliuojantys, todėl kai rebalansuojame, „pagauname“ teigiamą geometrinį vidurkį, tas sumažina indekso kintamumą.
  • Netobulai koreluojančio portfelio grąžą galime paaiškinti Fernholz vadinamu papildomo augimo komponentu (en. excess growth component), kurį uždirba portfelio (šiuo atveju, – indekso) diversifikacija ir priešinga jo dedamųjų koreliacija.

Jeigu, tarkim akcijų indekso kintamumas ya 17% (priešingai, negu vidutiniam pavienės akcijos kintamumui ~33%), galime daryti šias prielaidas:

  • Akcijų indekso ERP yra 6% – .5 * (.17^2) = 4.56%.. Šie papildomi 4% yra Fernholz’o “excess growth rate. Todėl, kai kurie investavimo profesionalai diversifikaciją vadina – „vieninteliais nemokamais pietumis“ investavime.
  • Vidutinė indekso akcijų tarpusavio koreliacija gali būti apskaičiuota (apytiksliai), akcijų indekso variaciją padalinus iš vidutinės pavienės indekso akcijos variacijos. Naudojant mūsų anksčiau naudotus duomenis (jie yra apytiksliai realūs): (0.17^2) / (0.33^2) = 0.27. Kas yra vidutinė ilgalaikė SP500 indekso koreliacija (Tiesa, trumpalaikė tarpusavio koreliacija gali būti smarkiai kitokia).

Reziumuojam

ERP nėra, kai vertinam pavienes akcijas. Ji egzistuoja, kai vertinam akcijų indeksą.

  • Dažnai klaidingai vertinama ir prilyginama – finansinis instrumentas ir visas finansinių instrumentų portfelis, (pavienė akcija ir akcijų indeksas..):
    • 10 metų USA obligacijos yra viena finansinė priemonė.. Pavienė AAPL akcija (ar 500000 AAPL akcijų) – yra kita finansinė priemonė.
    • S&P 500 indeksas – yra skirtingų akcijų portfelis (daugelio finansinių priemonių portfelis), ir dar jo sudėtis kinta..
    • Viena finansinė priemonė ir jų portfelis – nėra vienodi dalykai, todėl nereikia jų lyginti, lyg jie tokie būtų!

Portfelio stebėjimo dažnio ir patiriamų emocijų santykis

Įsivaizduokim, kad turim tik vieną ETF – EUNL (iShares Core MSCI World UCITS ETF USD (Acc)). Pasirinkau, nes – ilgesnė istorija. Šiaip norėjau VWCE, bet accumulating istorija trumpa).

Tikrinam portfelio pokytį kiekvieną dieną, kas savaitę, kas mėnesį, kas metus. Ar skiriasi mūsų patiriamos emocijos?

Tikrai taip, nes skirtumas tarp rezultatų, kuriuos matome – dideli.

Jeigu portfelį tikriname kiekvieną darbo dieną – net 45,5% dienų stebime, kad jis patiria nuostolius. Toks vaizdas, tikriausiai nepridės pasitenkinimo gyvenimu ir pilnatvės.

Jeigu portfelį tikrinsite kartą per mėnesį, nuostolį stebėsite tik 32% atvejų.

Jeigu kartą per metus – 0% (P.S. Pasisekė su pavyzdžiu).

Backtest dariau su EUNL ETF duomenimis, kuriuos atsisiunčiau iš investing.com, ten galima *.csv formatu atsisiųsti ir Excelyje pasiskaičiuoti, ką tik nori. Duomenys nuo 2009-10-01, iki 2020-03-05, tikrinau kiekvienos dienos, savaitės, mėnesio ir metų pokyčius, tikėtina, kad tikrinant kitomis dienomis, rezultatas tikrinant kas metus galėjo gautis nuo 80 iki 100%).

Tikriausiai geriausia būtų naudotis investavimo roboto paslaugomis, kuris pagal mūsų pasirinktą strategiją tiesiog atliktų visus pavedimus ir tik esant rimtoms situacijoms reikalautų dėmesio. Gal todėl nemaža panašaus tipo paslaugų paklausa (ir pasiūla).

Išvada: Jeigu nepatinka matyti nuostolį, portfelį tikrinti reikia rečiau.

P.S.

Kaip ir viskas, kas šiame puslapyje parašyta, tai tik mano asmeninė nuomonė. Ji neturėtų daryti jokios įtakos Jūsų poelgiams 🙂

Kiek kainuoja dividendai?

Kelis kartus komentaruose kilo diskusija, kas yra geriau: turėti pasaulio akcijų indekso ETF, pirkti dividendus mokančių įmonių akcijas, ar dar kažką.. Realiai, tai klausimas – kiek kainuoja dividendai?

Protingi ir patyrę žmonės gana dažnai net ir pinigų kaupimo stadijoje renkasi finansinius instrumentus, kurie išmoka dividendus. Argumentuojama, kad taip emociškai smagiau, saugiau, maloniau ir panašiai. Jautiesi stabiliau, nes gauni pastovias išmokas, kurias gali panaudoti įvairiems tikslams.

Mano asmenine nuomone, pinigų kaupimo stadijoje (kol pragyvenimui ar papildomoms išlaidoms nereikalingos išmokos), gyvenant Lietuvoje, dividendų gavimas nėra tikslingas. Nebent tu žinai ką darai ir gavęs dividendus, juos reinvestavęs į kitas finansines priemones, sugebėsi aplenkti pasaulio indeksą. Na arba renkiesi dividendų augimo strategiją, kur tikiesi, kad įmonės, kurių akcijas susipirkai, pastoviai didins dividendus ir po kurio laiko (pvz. Kad ir po 20 metų), tie dividendai bus pakankamai dideli ir jų pakaks praguvenimui, todėl nereikės parduoti pradinio portfelio.

Strategija yra strategija, teorija yra teorija. Tikrai daug informacijos internete, yra abiejų pusių šalininkų ir kritikų. Turbūt balansas kažkur per vidurį. Tikrai daug pliusų matau pastoviose išmokose, todėl nuspręndžiau paskaičiuoti, kiek gi kainuoja Lietuvoje gauti dividendus..

Aš tikiu skaičiais, modeliais, simuliacijom. Sugalvojau, paskaičiuoti Excel lentelėje, kiek gi per ilgą laiką kainuoja dividendai. Kaip žinome, jie apmokami 15% mokesčiu (čia minimum).

Tarkim:

  • Turim pradinį portfelį, pvz. 10000 eurų.
  • Turim dvi investavimo strategijas. Viena jų turi 2% grąžą per metus, kita 7%.
  • Turim dvi situacijas. Vienoje pradedam su 10000 ir daugiau pinigų nebeįdedam, kita – kas metus primokam po pvz. 12000 eurų (realesnis variantas). Kas mėnesį įmokų nedariau, nes sunkiau skaičiuoti, nėra prasmės.
  • Yra du analogišką grąžą turintys portfeliai, tik viename – accumulating tipo ETF, kuris nemoka dividendų, pasibaigus investavimo terminui, sumokame 15% GPM nuo pelno ir turim likutį už kurį gyvename.
  • Kitame – dividendus mokančios finansinės priemonės, turim kas metus, nuo gautų 2% ar 7% susimokėti 15% GPM, tada panaudojam likusius pinigus reinvestavimui į tokią pačią grąžą turinčias kitas, dividendus mokančias priemones. Termino pabaigoje, sumokame GPM nuo „augimo“ pelno, atmetę kitas išlaidas (juk nuo dividendų jau mokėta), turim likutį už kurį gyvename..
  • Situacija pakankamai supaprastinta, bet modelis turėtų parodyti dėsningumus.
30 metų termino skaičiavimai. Kairėje 10000 eurų pradinis portfelis. Dešinėje – su papildomomis 12000 kasmetinėmis įmokomis. Paspauskite ant paveikslėlio, jį padidinsite.
15 metų termino skaičiavimai. Kairėje 10000 eurų pradinis portfelis. Dešinėje – su papildomomis 12000 kasmetinėmis įmokomis. Paspauskite ant paveikslėlio, jį padidinsite.
15 metų termino skaičiavimai. Kairėje 10000 eurų pradinis portfelis. Dešinėje – kiekvieną mėnesį investuojant papildomą 2500 eurų. Toks plius – minus mano planuojamas variantas. Paspauskite ant paveikslėlio, jį padidinsite.

Realiai, kuo didesnę grąžą mano portfeliui pavyks pasiekti, tuo didesnis skirtumas tarp dividendus mokančio ir reikalaujančio reinvestavimo, ir finansinių priemonių, kurios nemoka dividendų portfelio. Noriu dar pabrėžti, kad skirtumas dar padidės, dėl tikriausiai didesnių komisinių (na nebent dividendai būtų kaupiami iki eilinės kasmetinės įmokos). Aišku čia skirtumas minimalus.

Išvados:

  • Kuo didesnis pradinis portfelis, tuo didesnis skirtumas. (Kuo didesnis pradinis portfelis termino pradžioje, tuo daugiau kainuoja dividendai, nes jie iš karto mokami nuo didesnės sumos)
  • Kuo didesnę grąžą sukuria portfelis, tuo didesnis skirtumas
  • Kuo didesnės papildomos įmokos per terminą, tuo tarp portfelių skirtumas mažesnis (iki tam tikros ribos! Logaritminė progresija!). Pats didžiausias skirtumas – jeigu neatliekamos jokios papildomos įmokos. Pats mažiausias – jeigu atliekamos maksimalios įmokos. Siūlau pažaisti su skaičiuokle.

Plius, kadangi modelis supaprastintas, skaičiai nėra visai tikslūs, bet idėją supratote. Per ilgą laiką, dividendai kainuoja ne tiek jau mažai.

Noriu pabrėžti, kad čia nėra lyginimas ETF vs dividendus mokančių įmonių akcijos ar panašiai. Juk backtest atliekant, yra daugybė kompanijų, kurios aplenkė visus indeksus. Yra ir mokančios, ir nemokančios dividendų – vistiek lenkia S&P500 kartais. Čia – teorinis modelis, parodyti, kad gauti dividendus – kainuoja papildomai, nes už dividendus sumokėti mokesčiai, nebedalyvauja compounding (t.y. mažesnis teorinis geometrinis vidurkis).

P.S.

Skaičiuoklė. Jeigu rasite klaidų, drąsiai rašykite komentaruose. Prisėdau per pertrauką darbe, nes norėjau atsakyti į DJ komentarą.

P.S.#2

Pastebėjimas:

  • Esant dideliam portfelio nuvertėjimui, jeigu gauname dividendus, sumokame mokesčius ir juos reinvestuojame – prarandame dar daugiau pinigų, negu juos būtų reinvestavęs ETF, be mokesčių, taip giliname savo drawdown (arba ulcer index)
  • Mažai pastebima iki ~ -10-15%, bet prie -30% jau smarkiai pastebima. Apie nuostolio pokyčius bus atskiras įrašas
  • Ilgalaikė grąža skaičiuojama log kreivės pagrindu ir praradimai kainuoja daugiau, negu pelnas (geometrinis vidurkis)
  • Galima būtų pavaizduoti skaičiuoklėje, bet jau nebeturiu laiko. Kam bus įdomu – pasidarys.

Portfelio sudarymo strategija #2

Nemažai skaičiau paskutinį mėnesį. Tikrai kilo daug minčių. Norėčiau ir Jūsų smegenims padėti kiek paskaičiuoti.

P.S. Jeigu esi kietas matematikas ar ekonomistas, tikėtina, kad praktiškai nieko naujo nerasi.

Visai (ne)apgaulingas klausimas #1.

Įsivaizduokime, kad pirmais metais mūsų portfelis pabrango 10%, o kitais atpigo 10%. Kokia galutinė mūsų portfelio vertė?

Skaičiuojam:

  • Pirmais metais turim 100 eurų, pridedam 10% = 110 eurų;
  • Antrais metais turim 110 eurų, atimam 10% = 99 eurai.

Išvada? Kad praėjus dviems metams, praradom pinigus. Nors abiem atvejais pokytis atrodo, kad buvo vienodo dydžio. Svarbu tai suprasti.

Teisingas ir kitas variantas, jeigu pradžioje prarandam 10%, o po to uždirbam. Vistiek lieka tik 99 eurai.

Visai (ne)apgaulingas klausimas #2

Pirmais metais mūsų investicinis portfelis praranda 50% vertės, antrais – uždirba net 100%. Kiek turėsim pinigų?

  • Pirmais metais turim 100 eurų, prarandam 50% = 50 eurų;
  • Antrais metais turim 50 eurų, pridedam 100% = 100 eurų.

Išvada? Praėjus dviems metams, turim tiek pat, kiek turėjom.

Jeigu prarandi pusę pinigų, reikia likutį padvigubinti, kad turėtum kiek turėjai.

Kaip jums atrodo, ar prarasti 50% ir uždirbti 100% yra visada vienoda tikimybė/galimybė?

Išvada: ilguoju periodu, labiau verta kiek įmanoma sumažinti praradimus (kas yra labai priimtina ir mano asmenybei, sunkiau valdyčiau emocijas didelių praradimų atveju)

Visai (ne)apgaulingas klausimas #3

Vienu atveju mes du metus iš eilės uždirbame po 25%. Kitu atveju pirmus metus uždirbame 50%, o antrus – neuždirbame nieko. Kuri situacija mums naudingesnė?

Pirma situacija: Pirmi metai 100 + 25% = 125; Antri metai 125 + 25% = 156 eurai.

Antra situacija: Pirmi metai 100 + 50% = 150; Antri metai 150 + 0% = 150

Išvada? Stabilus nedidelis augimas, dažnai yra geriau negu rizikinga, smarkiai kintanti grąža. Gerai, jeigu pasiseks. Bet ar norim savo gyvenimo santaupas palikti sėkmei?

Kol kas nepulkite komentuoti, kad viską jau mokykloje žinojot. Skaitykit toliau.

Pažaiskim

Pirmas žaidimas:

Turim savo pinigus (pvz. savo investicinį portfelį) – 100 eurų. Metam monetą. Jeigu skaičius – laimit 50% statymo, jeigu herbas – pralošiat 40% statymo. Sutinkat?

Minia šaukia: Tik idiotas nesutiks! Gi tikimybė laimėti ar pralaimėti tokia pati, t.y. 1/2 – 50%. O laimėjimas ir pralaimėjimas skiriasi net 10%.

Rezultatų lentelė po 1 žaidimo

Atrodo fantastika. Vidutiniškai turime (150+60)/2 = 105 eurus po 1 žaidimo.

Antras žaidimas:

Tos pačios taisyklės. Bet žaidžiame kol aš pasakysiu, kad sustojam. Sutinkat?

Minia vėl šaukia: Tik idiotas nesutiks! Gi tikimybė laimėti ar pralaimėti tokia pati, t.y. 1/2. O laimėjimas ir pralaimėjimas skiriasi net 10%. Pats rodei, kad vidutiniškai po žaidimo turėsim 105 eurus !!! Imk mano pinigus!

Rezultatų lentelė po 2 žaidimų.

Jau po 2 žaidimų, tikimybė, kad Jūs turėsit daugiau negu pradinį portfelį – tik 25%. O, kad pralošit pinigus – 75%. Kame reikalas? Įsivaizduokime, kad čia buvo Jūsų šeimos investicinis portfelis. Nejauku? Kai skaičiau, man buvo nejauku. Nes ne iš karto supratau, kodėl čia taip..

Paskaičiuokim vidutinį laimėjimą: (225+90+90+36)/4 = 110,25 eurai vienam žaidimui. Čia aritmetinis vidurkis. Bet tikimybė vienam žaidžiančiam turėti pliusą tik – 25%. Kažkas nesusideda. Juk metant monetą laimim net 50% kartų, o pelnas didesnis nei galimas pralaimėjimas.

Tarkim, kad tikimybė, kad iškris herbas ir skaičius visiškai vienoda, = 50%.

Tikimybė laimėti 150 (+50%) yra 50%, laimėti 60 (-40%) irgi 50%

Pristatau – geometrinį vidurkį.

Geometric Mean Return Formula
Geometrinio vidurkio formulė. Excel formulė – GEOMEAN(a;b;..;n)

n – periodų (metimų, žaidimų, metų) skaičius, r – grąža.

Šiuo atveju geometrinis vidurkis = √((1+50%)*(1+(-40%)))= √(1,5*0,6) ≈ 0,95

Spėkit, kas bus jeigu toliau mėtysime monetą ir kiekvieną kartą žaisime iš visų pinigų? Kiekvieno metimo rezultatas artės prie geometrinio vidurkio, t.y. galimi laimėjimai pasiskirstys aplink geometrinį vidurkį.

Žaidžiam 20 kartų. Galimų laimėjimų pasiskirstymas. Paaiškinimas, kaip suskaičiuojama – žemiau.
Laimėjimų pasiskirstymas grafiškai, po 20 žaidimų.

Aritmetinis vidurkis išlieka teigiamas, bet geometrinis (tas, kuris šiuo atveju pritaikomas realybėje) po 20 metimų bus ≈ 0,95^20 ≈ 0,35. Tai reiškia, labiausiai tikėtina, kad po 20 metimų, būsite praradę ~ 65% pinigų.

Laimėjimai pasiskirsto panašiai į abi puses, logaritminės kreivės principu. Kadangi geometrinis vidurkis visada mažesnis už aritmetinį, didžioji dalis pralošia, mažoji dalis laimi. Bet laimėjimai dideli.

Investuojant – kiekviena diena (ar kitas laikotarpis, pvz. metai) – naujas „metimas“. Ilguoju laikotarpiu, akcijos, obligacijos generuoja grąžą – tikimybė „laimėti“ didesnė, negu pralaimėti. Tam, kad ilguoju laiku turėtume teigiamą investicijos (kaip ir žaisto žaidimo) grąžą, geometrinis laikotarpių grąžos vidurkis turi būti daugiau negu 1.

Kas nesuprato/neįsitikino – siūlau pažaisti Excelyje.

Trečias žaidimas:

Statymas tik po 100 eurų, t.y. kiekvieno žaidimo metu – žaidžiama iš 100 eurų. Viso turim 10 000 eurų (pvz. paveldėjom portfelį). Tikymybė laimėti ir pralaimėti tokia pati. Laimėjimo ir pralaimėjimo dydis toks pat (+50% ir -40%). Žaidžiam?

Minia tyli. Juk praeitame žaidime viską parodei.. Vėl bandai apgauti?

Kadangi vėl kartojame panašų žaidimą, Jūs turite būti atsargūs. Tačiau šiame žaidime, laimėjimas ar pralaimėjimas neperkeliamas į kitą žaidimą. Nes žaidžiame ne iš visų pinigų. T.y. Jeigu laimėjai, nestatai viso laimėjimo (150 eurų), o tik 100 eurų. Laimėjimai ir pralaimėjimai sumuojasi.

Kada žaidime laimejimai ar pralaimėjimai pridedami/atimami – reikia pasikliauti aritmetiniu vidurkiu. Šį žaidimą žaisti apsimoka. Aritmetinis laimėjimo vidurkis yra +5 eurai per žaidimą. Šis žaidimas yra tas, apie kurį Jūs iš pat pradžių pagalvojote, kai siūliau žaisti #2 žaidimą..

Išvada: Kai laimėjimas/pralaimėjimas pridedamas arba atimamas – skaičiuojant galimą grąžą reikia pasikliauti aritmetiniu vidurkiu, kai dauginamas – geometriniu vidurkiu.

Primenu: Geometrinis vidurkis visada yra mažesnis už aritmetinį.

Antro ir trečio žaidimo esminis skirtumas – statomos sumos skirtumas. Pasimuliuokit Excelyje.

Išvada: Svarbu investuojant – nesudėti visų kiaušinių į vieną krepšį.

Ketvirtas žaidimas:

Taisyklės, kaip #2 žaidimo (to, kur žaisti neapsimoka), aš pasakau, kada baigiam žaisti, Jūs tik pasirenkate statymo dydį (Pvz. 5% turimų pinigų, arba 100%). Žaidžiam?

Minia galvoja..

Šis žaidimas labai panašus į #2. Bet yra kažkas, kas panašu ir į #3. Ar įmanoma išvengti #2 žaidimo neigiamo (<1) geometrinio vidurkio ir siekti teigiamo aritmetinio (>1)? Pasirodo taip.

Statykite <50% turimų pinigų, ir turėsite teigiamą geometrinį vidurkį. Statykite 25% ir tikimybė laimėti bus pati didžiausia.

Optimaliausias statymo dydis nustatomas pasitelkiant Kelly kriterijų (yra keli būdai suskaičiuoti).

Kelly kriterijus (Statymo %) = pW/pL – (1 – pW)/A,

Kai pW tikimybė laimėti (0,5), A laimėjimas (+50%) ir pL pralaimėjimas (-40%)

Statymo % = 0,5/0,4-(1-0,5)/0,5 = 25%

Statant 25% turimų pinigų ir nesikeičiant žaidimo sąlygoms, pasiekiamas didžiausias geometrinis vidurkis = 1,006231.

Išvada: Statymo dydis keičia ilgalaikę grąžą.

Statant 25% – kuo ilgiau žaisim, tuo daugiau šansų, kad turėsim pelno.

Svarbu investuojant: norint bent kiek prognozuojamų rezultatų, reiktų riboti rizikingų investicijų dalį.

P.S. Kelly – turi ir nemažai minusų. Bet esmę parodo. Labai faina ir gana supaprastinta paskaita, ką sudomino Kelly kriterijus, rekomenduoju.

E. Thorp straipsnis – kas jau stipriau supranta matematiką (man per daug high end). Dar viena „high end“ straipsnis-knyga.

Penktas žaidimas:

Taisyklės kaip #4 žaidimo, tik žaidžiam dviem monetom.

Jeigu su viena žaisti darant dalinius statymus apsimoka – turėtų apsimokėti ir su dviem, taip? Tikrai taip.

Geriausias rezultatas – naudotis #4 žaidimo rezultatais. Kiekvienam žaidimui – 25% pinigų (t.y. iš viso, per du žaidimus bus statoma 50%).

Papildomai rezultatus pagerins ir abiejų žaidimų pinigų „dalijimasis“. T.y. viename laimėjus, kitame pralaimėjus – perkelti pinigus iš laimėjusio, pralaimėjusiam (portfelio rebalansavimas).

Geometrinis tokio žaidimo vidurkis = pirmo metimo geometrinis vidurkis * antro žaidimo geometrinis vidurkis = 1,0125.

Išvada: Kuo daugiau vienas nuo kito nepriklausomų“žaidimų“ vyksta tuo pačiu metu, tuo labiau geometrinis vidurkis artėja prie aritmetinio (praktikoje – svarbu nesusipainioti. Pavyzdys neveiks su dviem koreliuojančiais ETF, kad ir pvz. IWDA su VWCE), kai yra aukšta koreliacija – „nauda“ žaisti kelis vienu metu vykstančius „žaidimus“ mažėja. Juk brangstant IWDA, tikėtina, kad brangs ir VWCE (ir atvirkščiai), – nebus vienas nuo kito nepriklausomi žaidimai. Todėl verta pasidomėti, kokios turto klasės viena su kita koreliuoja priešingai (neigiama koreliacija).

Svarbu investuojant: šio žaidimo pavyzdžiu pagrįsta skirtingų, nekoreliuojančių turto klasių sukuriama mažesnė rizika, bei portfelio rebalansavimo nauda.

Nepaisant galimų matematinių modelių, svarbu suprasti, kad visada yra didelė rizika prarasti pinigus.

Nėra tikrai saugių priemonių

„It’s not supposed to be easy. Anyone who finds it easy is stupid.“

Charlie Munger

Aštuoniasdešimt septyni procentai Fortune 500 kompanijų, kurios buvo reitinge 1955 metais, šiuo metu neegzistuoja.

S&P 500 indekso kompanijos pastoviai keičiasi..

Nemaža dalis investuotojų galvoja, kad pačios didžiausios kompanijos = pačios stabiliausios. Jie galvoja klaidingai.

table 1 companies exiting and entering_smaller454
table 3 different top 12_smaller702

Dar jeigu suprasime, kad praktiškai VISOS USA akcijų rinkos augimą sudarė apie 4% kompanijų augimas.. Ir, kad 58% USA kompanijų akcijų neduoda didesnės grąžos negu USA obligacijos (ilgu periodu).. Siūlau pasiskaityti šį PDF.

Beje, obligacijos irgi nėra saugios. Pasižiūrėkite wikipedia, kiek valstybių bankrutavo arba „nurašė“ savo skolas. Tokiu atveju, obligacijos tikriausiai tiesiog „išnyksta“.

Tai darom – Buy & hold.

Tikrai? Tik BUY and HOLD? Akcijų ir obligacijų?

Mano visiškai nekompetetinga nuomone – Tikrai taip. Tik ne pavienių kompanijų ar obligacijų, apie kurias nieko nežinom (o jeigu žinom, tai tikriausiai vistiek ne buy and hold iki gyvenimo galo, o aktyviai sekam ir domimės), o indekso ETF, kurį kažkas prižiūri. Išmeta vienas kompanijas (kurios bankrutuoja ar yra sujungiamos), įtraukia kitas. Taip automatiškai rebalansuojam ir diversifikuojam savo portfelį, vienu metu žaidžiam „daugiau“ žaidimų, artėjam nuo geometrinio iki aritmetinio tikėtinos vidutinės grąžos vidurkio.

Dar, visada lieka žemė ir auksas. Žemę išlaikyti gali būti brangu, nes pvz. keistis mokesčiai. O auksas – nekuria pridėtinės vertės. Bet juk diversifikuoti galima..

Mano ateities portfelis

Kuo labiau skaitau, tuo labiau suprantu, kad įvairūs backtest – mažai ko verti prognozuoti ateities grąžą. Bet vertinti tam tikro potencialią portfelio elgseną įvairiomis situacijomis – galima.

Kadangi iš visų biržose prekiaujamų turto klasių, istoriškai akcijos duoda didžiausią pelną, jos turi būti mano portfelyje. Deja, individualios akcijos – turi per didelę riziką. Pavienės USA akcijos Sharpe rodiklis ~0,28 (skaičiuojant nuo 1940 metų). Šią riziką sumažina daugelio akcijų ETF, (STDEV sumažėja nuo ~30% už pavienę akciją iki ~16% už S&P 500 ETF)..

Pasirinkimas #1 – VWCE (didelis, platus akcijų ETF, istorinis volatility ~12%)

Norime toliau išlaikyti kiek įmanoma didesnį portfelio pajamingumą, bet sumažinti riziką. Tam mums reikia priešingą koreliaciją turinčios turto klasės, kuri irgi būtų pakankamai pajaminga per ilgą laiką. Panašu, kad geriausias pasirinkimas – ilgalaikės obligacijos. Dažniausiai neigiama koreliacija su akcijomis. Pakankamas pelnas per ilgą laiką.

Pasirinkimas #2 – IS04 (ilgalaikės USA obligacijos, istorinis volatility ~10,5%)

Auksas mažai koreliuoja tiek su akcijomis, tiek su obligacijomis (ilgalaikė koreliacija arti 0 viskam). Dar auksas turi nemažą pajamingumą per paskutinius 50 metų. Aukso grąža mažesnė negu akcijų, bet didesnė negu ilgalaikių obligacijų.

Pasirinkimas #3 – 8PSG (fizinio aukso ETC, su mažu TER)

Dabar išlieka tik klausimas, kaip „maišyti“ šiuos tris vienas su kitu nelabai koreliuojančius komponentus, kad išlaikyti tiek pakankamą grąžą, tiek mažą bendrą portfelio volatility.

Kadangi istoriškai, šios trys turto klasės ir sukūrė didžiausią grąžą, man asmeniškai svarbiausia išlaikyti mažą portfelio svyravimą. Vienintelis dalykas ko aš nenoriu – prarasti didelės portfelio dalies ir negalėti nieko padaryti. Gera žinia ta, kad krizės užsitęsia. Todėl pakankamai greitai reaguojant, galima turėti tik ribotą nuostolį (aišku taip sumažinama ir potencialaus didesnio pelno galimybė).

Grąžos ir rizikos vertinimui dažnai naudojamas Sharpe rodiklis. Didžiausias jo pliusas – paprastumas.

Kiekvieną mėnesį skaiciuosiu ir stebėsiu savo trijų pasirinkimų grąžą ir volatility (STDEV), skaičiuosiu portfelio Sharpe rodiklį. Jau pasidariau Excel lentelę, patestavau kelis mėnesius atgal. Pagal Kelly kriterijų skaičiuosiu, kokiu santykiu, labiausiai apsimoka „statyti“ artimiausiu metu – t.y. kada turėsiu didžiausią bendrą portfelio grąžą ir mažiausią bendrą portfelio volatility. Stebėjimus fiksuosiu. Jeigu teorija veiks – pritaikysiu praktikoje. Jaučia dūšia, kad veiks. Gana smarkiai ribosiu savo galimą pelną esant tik augimui, bet gana gerai apsisaugosiu nuo didesnių nuostolių.

Portfoliovisualizer rodo, kad vien tik laikant visų trijų komponentų po 33% ir juos rebalansuojant, volatility sumažinamas kartais. O ir nuostoliai lyginant su S&P 500 nėra tokie dideli (po 2000). Žiūrint atgal nuo 1972 – labai didelis skirtumas, net nepadorus. Bet aš nedarau tokio didelio backtest, nes netikiu, kad dabar yra tokios pat sąlygos investuoti, kaip 1972-1999. Dabar juk viskas kitaip, rizika kitokia, informacija keičiamasi daug greičiau, nieko nepriprognozuosi. 1972 toks veikėjas kaip aš, net nebūtų turėjęs galimybės investuoti.. Man svarbiausia – mažesnė rizika, su pakankama grąža (didesne negu terminuotas indėlis).

Papildomas pasiskaitymas..

Apie tikimybes (Autorius – puikus, daug skaičiau jo kitų pasisakymų. Atsisiunčiau kelias knygas, tikrai visas skaitysiu) https://medium.com/incerto/the-logic-of-risk-taking-107bf41029d3

Ergodicity tyrėjas: https://www.nature.com/articles/s41567-019-0732-0 Naujas straipsnis, visiškai naujas požiūris į ekonomiką.

Truputis supaprastintai apie ergodicity (pavyzdys apie monetų mėtymą): http://squidarth.com/math/2018/11/27/ergodicity.html ir grafinės iliustracijos http://squidarth.com/math/2019/04/13/ergodicity-animated.html

Kelly kriterijus: https:;//en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion

Plačiau pastudijuoti: https://www.math.ust.hk/~maykwok/courses/ma362/Topic2.pdf

Pats Sharpe apie portfelio struktūrą: https://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/rr/mia_rr5.htm#two

Pačio Sharpe blogas: https://web.stanford.edu/~wfsharpe/

Puikus puslapis, didžioji dalis minčių iš jo. https://breakingthemarket.com/stochastic-efficiency-is-real-and-its-spectacular/

Na, man daug kas čia buvo nauja. Jaučiuosi – truputį daugiau žinantis ir suprantantis, bet kilo dar daugiau klausimų. Tikiuosi, kam nors buvo naudinga.